Question

已知F1,F2是椭圆16x^2+25y^2=400的两个焦点,P是椭圆上的点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积

Answer 1

椭圆方程为:x^2/25+y^2/16=1,
a=5,b=4,c=3,|F1F2|=2c=6,
设|PF1|=m,|PF2|=n,
根据椭圆的定义,
m+n=2a=10,
两边平方,
m^2+n^2+2mn=100,(1)
在△PF1F2中,根据余弦定理,
(2c)^2=m^2+n^2-2mncos<F1PF2,
36=m^2+n^2-2mn*√3/2,
m^2+n^2-√3mn=36,(2)
(1)-(2)式,
mn(2+√3)=64,
∴mn=64/(2+√3)=64(2-√3),
S△PF1F2=(1/2)mn*sin<F1PF2=(1/2)*(1/2)*64(2-√3)
=16(2-√3)=32-16√3.
∴△F1PF2的面积S=32-16√3.