Question

y=ln(x+√1+x^2)的反函数是什么？

Answer 1

Y=ln【(x+√(x²+1)】

x+√(x²+1) = e^y

√(x²+1) = e^y - x

1 = e^2y - 2xe^y

2xe^y = e^2y - 1

x = （e^2y-1)/(2e^y) = e^y/2 - 1/{2e^y)

即，反函数：y = e^x/2 - 1/{2e^x)

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。