Question

设函数f(x)在〔0,1〕上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=f(1)=0,证明

设函数f(x)在〔0,1〕上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=f(1)=0,证明在（0,1）内至少有一点ξ，使得f(ξ)+2f'(ξ)=0

Answer 1

F=f(x)e^(x/2),F在区间[0,1]満足罗尔定理的条件.由罗尔定理,在（0,1）内至少有一点ξ，使F'(ξ)=0,但F'(x)=f'(x)e^(x/2)+(1/2)f(x)e^(x/2),代入即得结论

Answer 2

令
g(x)=x²f(x)
则g(0)=g(1)=0
由中值定理：存在&∈(0,1),使
g'(&)
=
2&f(&)+&²f'(&)=0
即2f(&)+&f'(&)=0