设f(x)在x=0处连续,且lim(x趋于0)f(x)/x^2=1 ,证明函数f(x)在x=0处可导且取得极小值。
1个回答
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f(x)在x=0处的导数为f‘(0)=lim(x趋于0)[f(x)-f(0)]/x
因为f(x)在x=0连续,且lim(x趋于0)f(x)/x^2=1,所以f(0)=0
lim(x趋于0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0)f(x)/x
lim(x趋于0)f(x)/x^2=1,说明f(x)在x=0处于x^2是等价无穷小
所以lim(x趋于0)f(x)/x=lim(x趋于0)x^2/x=x=0,证明f(x)在x=0可导,切f ’ (x)=x
当x《0时,f ’ (x)<0,当x>0时,f ’ (x)>0,说明f(x)在x=0取极小值
因为f(x)在x=0连续,且lim(x趋于0)f(x)/x^2=1,所以f(0)=0
lim(x趋于0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0)f(x)/x
lim(x趋于0)f(x)/x^2=1,说明f(x)在x=0处于x^2是等价无穷小
所以lim(x趋于0)f(x)/x=lim(x趋于0)x^2/x=x=0,证明f(x)在x=0可导,切f ’ (x)=x
当x《0时,f ’ (x)<0,当x>0时,f ’ (x)>0,说明f(x)在x=0取极小值
更多追问追答
追问
可以利用洛必达法则直接写出一阶导和二阶导的值么?然后利用二阶导等于二,大于零直接写是极小值
追答
那你不是还要证明f(x)的二阶导存在嘛
来自:求助得到的回答
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