Question

已知如图,在梯形abcd中,AD‖BC,AD=CD且AC⊥AB 1.求证:BC=2AD 2.若AB=6，cos∠ABD=9/11 求AD

已知如图,在梯形abcd中,AD‖BC,AD=CD且AC⊥AB 1.求证:BC=2AD 2.若AB=6，cos∠ABD=9/11 求AD

Answer 1

⑴取BC的中点P，连接AP，
∵ΔABC是直角三角形，BC为斜边，∴PA=PB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠PCA=∠PAC，∴AP∥CD，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC=PB，
∴BC=2AD。
⑵设AC与BD相交于Q，在RTΔABQ中，AB=6，
cos∠ABQ=AB/BQ=9/11，
∴BQ=22/3，∴AQ=√(BQ^2-AB^2)=4√10/3，
∵AD∥BC，∴ΔADQ∽ΔCBQ，
∴CQ/AQ=BC/AD=2，
∴CQ=2AQ=8√10/3，∴AC=4√10，
在RTΔABC中，BC=√(AB^2+AC^2)=14，
∴AD=1/2BC=7。