Question

隐函数求不定积分，求解。高数大师

Answer 1

由(x-y)^2=cos^2(α)；1-x/y=sin^2(α) 

解得：x=sinα(1+1/cos^2(α))；

y=sinα/cos^2(α)
原积分I=∫dx/(x-3y) ；

=∫[cosα(1+1/cos^2(α))+sinα*(-2)*cos^(-3)(α)*(-sinα)]/[sinα+sinα/cos^2(α)-3sinα/cos^2(α)]dα

=∫[cos^4(α)+cos^2(α)+2sin^2(α)]/[sinαcosα(cos^2(α)-2)]dα

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分；

而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

y(x-y)^2=x=>(x-y)^2+1-x/y=1
=>(x-y)^2=cos^2(α)；1-x/y=sin^2(α)
把x,y表示成α的函数带入积分式中即可
隐函数也是确定了一种关系，用参数这个媒介联系起来会更直观更容易计算

追问

表示还是不懂？有没有详细步骤？

追答

由(x-y)^2=cos^2(α)；1-x/y=sin^2(α)
解得：x=sinα(1+1/cos^2(α));y=sinα/cos^2(α)
原积分I=∫dx/(x-3y)
=∫[cosα(1+1/cos^2(α))+sinα*(-2)*cos^(-3)(α)*(-sinα)]/[sinα+sinα/cos^2(α)-3sinα/cos^2(α)]dα
=∫[cos^4(α)+cos^2(α)+2sin^2(α)]/[sinαcosα(cos^2(α)-2)]dα
其后的步骤你自己完善吧，起码现在这个式子是关于α这一个变量的积分，只要按三角函数又立即分就好了。你写的是隐函数积分，那么把它化成显函数后就没什么理论上的难题了。
但请你理解，这个积分要花一些时间，我是业余的，我有正业

追问

谢谢，不过令X-Y=T我觉得会更简单。。。

追答

我试过，无法解决x与y同时存在的问题……谁叫你那么做的？你做出来了没？

追问

引进T可以得到X和Y的关系，你可以试试，可以解出来。结果当然也是X和Y都包括

追答

。。。那还有什么意义……你写个我看

Answer 3

直接对隐函数两边求全微分，然后得到dx=左边的全微分。
把dx带入积分式，然后凑微分得解。
这种题型可以参照第二类曲线积分 格林公式那一章 直接对积分式凑分 然后利用牛顿-莱布尼兹公式求解的题型。

追问

目前来说格林公式莱布尼茨公式都不知道，有没有详细步骤？