Question

一道高数上的困扰，1/（x^2+1）的原函数是arctanx 为什么不能是-arccotx.

Answer 1

该被积函数的原函数是arctanx+C，C为任意常数，而arctanx和-arccotx相差一个常数，所以，这两个都是原被积函数的原函数，arctanx+C和-arccotx+C都是对的。

关于arctanx和-arccotx相差一个常数：

我们有这样的关系：arccotx=arctan（1/x），那么构造一个函数，令F(x)=arctanx-(-arccotx)=arctanx+arctan(1/x)，你可能很熟悉，这个函数恒等于一个常数：我们对F(x)求一阶导数，发现F'(x)=0。这就说明了F(x)恒等于一个常数，任意代入一个值，F(1)=π/2.这就证明了，arctanx和-arccotx相差一个常数。

Answer 2

而arctanx和-arccotx相差一个常数，arctanx+C和-arccotx+C都是对的。
关于arctanx和-arccotx相差一个常数：
我们有这样的关系：arccotx=arctan（1/：我们对F(x)求一阶导数，发现F'(x)=0。这就说明了F(x)恒等于一个常数;x)，你可能很熟悉，这个函数恒等于一个常数该被积函数的原函数是arctanx+C，C为任意常数，所以，这两个都是原被积函数的原函数，任意代入一个值，令F(x)=arctanx-(-arccotx)=arctanx+arctan(1/x），那么构造一个函数，F(1)=π/2.这就证明了，arctanx和-arccotx相差一个常数

Answer 3

解：
∫1/(x^2+1) dx=arctanx+C，
也可以是∫1/(x^2+1) dx=-∫-1/(x^2+1) dx=-arctanx+C
所以-arccotx也是1/(x^2+1)的原函数，只是习惯上写arctanx