Question

怎么判断一个定积分的正负啊

例如这两个积分的正负都是怎么判断出来的

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Answer 1

若被积函数在积分区间内恒正或恒负，则定积分值和被积函数同号。

第一题

e^x^2恒正，sinx恒负，故积分为负。

第二题

e^x^2-e^(x-π）＾2恒正，sinx恒正，所以积分为正。

一般定理

定理1：设f(x)在区间［a,b]上连续，则f(x)在［a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间［a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间［a,b]上单调，则f(x)在［a,b]上可积。

Answer 2

若被积函数在积分区间内恒正或恒负，则定积分值和被积函数同号
第一题
e^x^2恒正，sinx恒负，故积分为负
第二题
e^x^2-e^(x-π)^2恒正，sinx恒正，所以积分为正

追问

不需要考虑积分的上下线吗？比如把这两个的积分上下限的次序都兑换，第一个是2π到π，第二个是3π到2π，积分值的结果变吗

追答

以上结论的前提是上线大于下线
如果上线小于下线，可调换上下线，加负号后判断

Answer 3

1. ∵e^(x^2)>0 在x∈[π,2π]时 sinx<0 ∴e^(x^2)sinx<0 ∫[π,2π]e^(x^2)sinxdx<0
2.∵ 在x∈[2π,3π]时 e^(x^2)- e^[(x-π)^2]>0 sinx>0 ∴ {e^(x^2)- e^[(x-π)^2]}sinx>0
∫[2π,3π]{e^(x^2)- e^[(x-π)^2]}sinxdx>0