设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使向量PF1·PF2=0
设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使向量PF1·PF2=0,且三角形F1PF2的三边长构成...
设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使向量PF1·PF2=0,且三角形F1PF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率是多少
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2012-12-06 · 知道合伙人教育行家
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设 |PF1|=m ,|PF2|=n ,(m>n)
由双曲线定义,m-n=2a ,----------(1)
又向量 PF1*PF2=0 ,所以 PF1丄PF2 ,则由勾股定理得 m^2+n^2=4c^2 ,----------(2)
根据已知条件,n、m、2c 成等差数列,因此 n+2c=2m ,----------(3)
由(1)(3)解得 m=2c-2a ,n=2c-4a ,
代入(2)得 (2c-2a)^2+(2c-4a)^2=4c^2 ,
化简得 c^2-6ac+5a^2=0 ,
两边同除以 a^2 得 e^2-6e+5=0 ,
解得 e=5 。(舍去 -1)
由双曲线定义,m-n=2a ,----------(1)
又向量 PF1*PF2=0 ,所以 PF1丄PF2 ,则由勾股定理得 m^2+n^2=4c^2 ,----------(2)
根据已知条件,n、m、2c 成等差数列,因此 n+2c=2m ,----------(3)
由(1)(3)解得 m=2c-2a ,n=2c-4a ,
代入(2)得 (2c-2a)^2+(2c-4a)^2=4c^2 ,
化简得 c^2-6ac+5a^2=0 ,
两边同除以 a^2 得 e^2-6e+5=0 ,
解得 e=5 。(舍去 -1)
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