Question

设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使向量PF1·PF2=0

设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使向量PF1·PF2=0,且三角形F1PF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率是多少

Answer 1

设 |PF1|=m ，|PF2|=n ，(m>n)
由双曲线定义，m-n=2a ，----------（1）
又向量 PF1*PF2=0 ，所以 PF1丄PF2 ，则由勾股定理得 m^2+n^2=4c^2 ，----------（2）
根据已知条件，n、m、2c 成等差数列，因此 n+2c=2m ，----------（3）
由（1）（3）解得 m=2c-2a ，n=2c-4a ，
代入（2）得 (2c-2a)^2+(2c-4a)^2=4c^2 ，
化简得 c^2-6ac+5a^2=0 ，
两边同除以 a^2 得 e^2-6e+5=0 ，
解得 e=5 。（舍去 -1）