Question

一个关于开区间函数最值问题

老师说开区间函数最值只能在导函数为0的点取得，比如y = x3在(-1,1)求最值，那只有在x = 0处能取得。可是这样从函数图象上看不可能啊。（0,0）点怎么会是最值点？函数趋近于x=1时才取得最大值，x=-1时才取得最小值啊。虽然不存在x=1,x=-1的情况，但总有极限趋近的啊。再说x=0处该是最大值，还是最小值。随便取x=0.5,x=-0.5，那f(x)根本成不了最值呀

Answer 1

“老师说开区间函数最值只能在导函数为0的点取得”这句话你理解的不对。
这句话的意思是说，对可导函数，如果在开区间有最值，则一定在导数为0的地方也就是驻点处取得。当然函数在开区间可能没有最值。

换句话说 导数为零的点是取得最值的必要条件而不是充分条件。
你给出的例子没有最值，x=0是驻点但不是最值点。

追问

我明白你的意思了，是说一个函数首先要判断它有最值才能利用f'(x)=0找到它的最值点吗？那y=x3有没有最值呢？一个开区间上的函数如何求最值？

追答

y=x3在(-1,1)没有最值。
开区间找最值利用单调性。

Answer 2

老师说错了，只能再极值点处取得。极值点的导数值为0，但是导数值为0的点，不一定是极值点。你所给的f(x)=x³，x=0的左侧与右侧都是递增的，所以x=0不是极值点。

Answer 3

你假设的是闭区间吧。。你题目说的开区间啊
而且你这个函数是单调递增函数。
一元函数的最值除了找出导函数等于零的点，也就是驻点，之外，还要判断驻点两端的单调性，必须是导函数等于零的点，左右单调性不同的时候才是最值点。