Question

用函数图像的凸性证明不等式:xlnx+ylny>(x+y)ln（x+y）/2【x＞0，y＞0，x≠y】

Answer 1

(xlnx)''=(lnx+1)'=1/x>0, for x>0
Jensen不等式 (xlnx+ylny)/2>=(x+y)/2*ln((x+y)/2)
xlnx+ylny>=(x+y)*ln((x+y)/2)

所谓用函数图象就是说割线的中点在弧的中点上边。

Answer 2

两边同时除以2，构造函数，另f(t)=t㏑t,一阶导㏑t+1,二阶导1/t,大于0，，凹函数，所以。。。