Question

一道数学证明题！谁会啊~！？

如何证明“三点共线”问题？！（最好有例子！） 谢谢啦！！！~~~

Answer 1

利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）
例2
、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数)
证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。
记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，
易知
，
∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，
此时，
因为
（B、D、H、E四点共圆），
即
；又
，所以
，故
同理，
。
因为
，所以，M、H、N三点共线。
3、利用面积法
如果
，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。
例3
、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。
证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，
由
可知，
点O必在
内，此时，
同理，
。
因此
。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。
注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。
例4
、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与
MN交于S，证明：A、S、C三点共线。
证明：如图4(b)，令PQ与AC交于
，
易证
互补。
而
，则
，
故
。再令MN与AC交于
。同理可得
但
，所以
。利用合比性质得，
。
因此，
，可断定
与
必重合于点S，故A、S、C三点共线。
注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。
5、利用位似形的性质
如果
与
是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、
、O；B、
、O；C、
、O分别三点共线，而且
、
的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。
例5、如图,
内部的三个等圆⊙
、⊙
、⊙
两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与
的一边相切,已知O、I分别是
的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。
证明：联结
、
、
。由已知得
、
、
。
可断定
与
是一对位似三角形，
且易知
的内心I是两者的位似中心。
因为⊙
、⊙
、⊙
为等圆，
即
,
所以点P是
的外心。又点O是
的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。
6、
利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。
例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点
、
、
，如果到四边距离之和皆相等，那么，
、
、
三点共线，试证之。
证明：先看
两点，
设直线
分别交AD、BC于M
、N，
于
，
于
，
于
，
于
。
因为DC//AB，则点
到AB、CD的距离之和等于点
到AB、CD的距离之和。由已知可得
。过点
作AD的平行线、过点
作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记
交
于G，
交
于H。
观察上式有
。所以，
。
因为
有两条高
，所以，
是等腰三角形，则
。
故
。
再用反证法证明点
一定在
上：假设点
不在
上，联结
并延长分别交AD、BC于
，易知点
在MN的异侧；因为点
到AD、BC的距离之和等于点
到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有
。
事实上，观察图形只能得到
，矛盾，这说明点
必在
上，即MN上，因此
、
、
三点共线。