Question

在MatLab里面用隐式欧拉法(backward euler)解决常微分方程。初学matlab 好多都不会，知道的帮下忙

在MATLAB 里面写一个程序：要求用 隐式欧拉法(backward euler) 去解决常微分方程。原理我懂，就是不会用MATLAB 写出来。 下面是两个例题，希望知道的帮下忙写具体点，然后我能从中学习到。谢谢各位了，在线等。
1. x' = - 2x ; 还给出准确值是： x= e^(-2t)
要求： 求出t=0， 这是一个初始值，然后算出在区间[0,5] 的值。 还给出 步长(step size) h=0.1
2. x' = xsint - 2x^2; 给出初始条件 x(0) = 0
要求： 求出在区间[0,1] 的值，比较 h=0.01 和 h=0.001 在 t = 1 这里。
知道的帮忙写下程序啊。着急啊
backward euler 可以理解成为向后欧拉法。

Answer 1

1.新建一个m文件，编写隐式Euler法的程序：
function [x,y]=Implicit_Euler(odefun,xspan,y0,h,varargin)
% 隐式Euler公式求解常微分方程
% 输入参数：
% ---odefun：微分方程的函数描述
% ---xspan：求解区间[x0,xn]
% ---y0：初始条件
% ---h：迭代步长
% ---p1,p2,…：odefun函数的附加参数
% 输出参数：
% ---x：返回的节点，即x=xspan(1):h:xspan(2)
% ---y：微分方程的数值解
x=xspan(1):h:xspan(2);
y(1)=y0;
for k=1:length(x)-1
z0=y(k)+h*feval(odefun,x(k),y(k),varargin{:});
z1=inf;
while abs(z1-z0)>1e-4
z1=y(k)+h*feval(odefun,x(k+1),z0,varargin{:});
z0=z1;
end
y(k+1)=z1;
end
x=x;y=y;

2.在命令窗口直接调用上面的程序，求解常微分问题：
（1）
f=@(t,x)-2*x;
[t,x]=Implicit_Euler(f,[0 5],1,0.1);
t1=0:0.1:5;
x1=exp(-2*t);
plot(t1,x1)
hold on
plot(t,x,'k.-','markersize',16)
legend('解析解','隐式Euler求解结果')
xlabel('t');ylabel('x');

（2）此题你给出的初值好像有问题吧，x0=0的话，求解的结果都是为0，所以我改用x0=1求解试了一下：
>> f=@(t,x)x*sin(t)-2*x^2;
>> [t,x]=Implicit_Euler(f,[0 1],1,0.01);
>> [t1,x1]=Implicit_Euler(f,[0 1],1,0.001);
>> e=x1(end)-x(end)
e =
-0.0029

>> plot(t,x,'r:')
>> hold on
>> plot(t1,x1,'g--')
>> xlabel('t');ylabel('x')
>> legend('积分步长为0.01','积分步长为0.001')
>>

Answer 2

matlab里的euler法数值积分是过时的积分算法，不知道还能用吗。