Question

π/2 0π根号sinx^2-sinx^4为什么等于π0π/2？

Answer 1

sin²x-(sinx)^4=sin²xcos²x，∴(π/2)∫(0,π)√[sin²x-(sinx)^4]dx=(π/2)∫(0,π)丨sinxcosx丨dx。
而，x∈[π/2, π]时，cosx≤0。∴ ∫(0,π/2)sinxcosxdx-∫(π/2,π)sinxcosxdx。对后积分，令x=π-t。∫(π/2,π)sinxcosxdx=-∫(0,π/2)sinxcosxdx。
∴ (π/2)∫(0,π)√[sin²x-(sinx)^4]dx=π∫(0,π/2)sinxcosxdx。