Question

已知双曲线x的平方-y的平方＝1的渐近线方程为y＝±x，其中一个焦点为（-根号2，0）.求：是否存在

是否存在经过点B1（0，1）的直线，使得直线与双曲线交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过点B2（0，-1）？若存在，求出直线。若不存在，请说明理由

Answer 1

一个焦点是(－√2，0)，则：c=√2
又：渐近线是y=±x，则这个双曲线是等轴双曲线，则离心率e=√2，则：
a=b
从而a=b=1
所以，双曲线方程是：x²－y²=1

1、如直线斜率不存在，此时直线是x=0，验证，不满足；
2、设直线斜率为k，则直线方程是：y=kx＋1
代入双曲线x²－y²=1中，得：
(1－k²)x²－2kx－2=0，此方程两根就是点A、B的横坐标x1、x2
得：x1＋x2=2k/(1－k²)、x1x2=2/(k²－1) -------------------------(1)
以AB为直径的圆过点Q(0，－1)，则：
向量AQ与向量BQ垂直，得：
AQ=(－x1，－1－y1)=(－x1，－kx1－2)、BQ=(－x2，－1－y2)=(－x2，－kx2－2)
利用AQ*BQ=0，得：
x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)=0
(1＋k²)(x1x2)＋2k(x1＋x2)＋4=0 -------------------------------------(2)
(1)代入(2)计算出k的值。

Answer 2

存在

追问

是否存在经过点B1（0，1）的直线，使得直线与双曲线交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过点B2（0，-1），若存在.求出直线，不存在.情说明理由

追答

这个问题有点复杂，不过可以提供一个简单的思路

不妨设出来AB的中点C(x,y)
很明显CB1=CB2
那么我们可以得到C点在X轴上
画个图即可知，这样的直线不存在。
如果按这种思路算，也是很简便的。

Answer 3

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