Question

求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+y^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分

求∫(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分
C是半球x^2+y^2+z^2=2ax,z>0和圆柱x^2+y^2=2bx,0<b<a的交线，逆时针方向

Answer 1

如图，红色曲线为积分曲线。

将x=2b，y=0代入半球方程可得z=2[b(b-a)]^(1/2),

于是可得交线最高点为（2b，0，2[b(b-a)]^(1/2)）。

下面开始积分：

曲线积分∫c(y^2+z^2)dx+(x^2+y^2)dy+(x^2+y^2)dz=∫c(y^2+z^2)dx+∫c (x^2+y^2)dy+∫c (x^2+y^2)dz

其中第一个积分∫c(y^2+z^2)dx=

第二个积分∫c(x^2+y^2)dy=

第三个积分∫c(x^2+y^2)dz=∫c2bxdz（因为x^2+y^2=2bx）

综上所述，∫(y^2+z^2)dx+(x^2+z^2)dy+(x^2+y^2)dz沿C的线积分为8ab^2。