Question

这道数学导数题是真不会了，求各位大神帮忙解一下？

Answer 1

结果是a≥-1，过程见下图，望采纳

Answer 2

x≥0时f(x)≥(1/2)x^2+1恒成立，
<==>e^x+ax≥(1/2)x^2+1①恒成立,
x=0时①成立；x>0时①变为
a≥(1/2)x+(1-e^x)/x,记为g(x),
g'(x)=1/2+[-xe^x-(1-e^x)]/x^2
=1/2+[(1-x)e^x-1]/x^2,
g''(x)=-xe^x/x^2-2[(1-x)e^x-1]/x^3
=-[(2-2x+x^2)e^x-2]/x^3
2-2x+x^2=（x-1)^2+1>0,
(2-2x+x^2)e^x-2>(2-2x+x^2)(1+x+x^2/2)-2=(1/2)x^4≥0,
所以g''(x)<0,g'(x)是减函数，
g'(x)<g'(0+)-->1/2+[(1-x)(1+x)-1]/x^2=-1/2,
所以g(x)是减函数，
g(0+)-->[1-(1+x)]/x=-1,
所以a≥-1,为所求。

Answer 3

g(x)=f(x)-x²/2-1
=e^x+ax-x²/2-1≥0,就是g（x）最小值是0
g'(x)=e^x+a-x
g''(x)=e^x-1,
x>0,g''(x)>0,g(x)向上凹；
x<0,g''(x)<0,g(x)向下凹；
x=0是拐点。

追问

可是a的取值呢

追答

向上凹，有最小值。因为g''〉0,所以g'单增。

g'(0)=1十a，如果g'(0)≥0,g(x)单增，a≥-1

g(0)=0，最小。满足要求。

如果g'(0)〈0,a〈-1，则存在x=ξ〉0,g'(ξ)=e＾ξ十a-ξ=0
最小值g(ξ)=e＾ξ十aξ-ξ²/2-1≥0

e＾ξ=ξ-a〉ξ十1〉1

ξ-a十aξ-ξ²/2-1≥0
ξ²/2-(a十1)ξ十(a十1)≤0
ξ²-2(a十1)ξ十(a十1)²≤(a十1)²-(a十1)
(ξ-(a十1))²≤a(a十1)
(a十1)-√[a(a十1)]≤ξ≤(a十1)十√[a(a十1)]

(a十1)十√[a(a十1)]≥0
√[(-a)[-(a十1)]]≥[√[-(a十1)]]²
√(-a)≥√[-(a十1)]
-a≥-a-1
成立。

考虑e＾ξ=ξ-a，
前面那个指数函数，后面是k=1的直线，切点e＾ξ=1，ξ=0,直线y=x十1=x-(-1)，
a〈-1，y=x-a与y轴交点，在y=e＾x上方，与y=e＾x在y轴右方必有交点。

此时，[ξ-(a十1)]²≤(a十1)²-2(a十1)=(a十1)(a-1)=a²-1

g'(0)〈0,g(0)=0,g(x)在x=0是减函数，x=0右侧领域，g(x)〈0,不符合题意。
所以，a≥-1

邻