Question

函数f（x）=（根号x^2+1）-x用导数法化简，怎么变呢？

Answer 1

是倒数法吧？
f(x)=√(x²+1)-x
=[√(x²+1)-x][√(x²+1)+x]/[√(x²+1)+x]
=1/[√(x²+1)+x]

追问

至于证减函数，用导数法最简单。
f'(x)=(1/2)(2x)/√(x²+1) -1=x/√(x²+1) -1=[x-√(x²+1)]/√(x²+1)
x²+1>x² √(x²+1)>x x-√(x²+1)0
f'(x)<0，函数在定义域上是减函数。

这个是别人解的，但是我不知道怎么解开的喔

追答

我忽然间看不懂你要问的是什么了

追问

证明：函数f（x）=（√x^2+1）-x在定义域是减函数，这个是原式

追答

用导数法。
对 f(x) 求导，
f'(x)=[√(x²+1)-x]'
=x/√(x²+1)-1
=[x-√(x²+1)]/√(x²+1)
由于 x-√(x²+1) 恒小于0，
可见，在 x∈R 上，
f'(x)＜0 恒成立。
所以 f(x) 在 R 上是减函数。

追问

对呀，就是那一步不会化简呢,又有根号的
f'(x)=[√(x²+1)-x]'
=x/√(x²+1)-1
=[x-√(x²+1)]/√(x²+1)

追答

这里，因为 x=x²＜√(x²+1)
所以 f'(x) 的分子 x-√(x²+1)＜0
而分母 √(x²+1) 是正的，
所以，对于 f'(x) 来说
f'(x)=负数/正数=负数＜0
对任意 x∈R 是成立