Question

设随机变量X与Y独立，且P(X=1)=P(Y=1)=P>0，又P(X=0)=P(Y=0)=1-P>0

设随机变量X与Y独立，且P(X=1)=P(Y=1)=P>0，又P(X=0)=P(Y=0)=1-P>0，定义Z=1，若X+Y为偶数；Z=0，若X+Y为奇数。问P取什么值时X与Z独立？

Answer 1

X+Y的取值可能有0，1，2

那么p(Z=0)=p(X+Y=1)=p(x=0,y=1)+p(x=1,y=0)=2p(1-p) p(Z=1)=1-2p(1-p)

X与Z相互独立则p(XZ)=p(x)p(Z)

xz的取值可能为0，1

p(xz=1)=p(x=1)p(Z=1)=p-2p^2(1-p)

p(xz=0)=p(x=0)p(z=0)+p(x=0)p(z=1)+p(z=0)p(x=1)=2p(1-p)^2+p-2p^2(1-p)+2p^2(1-p)=2p(1-p)^2+p两式相加就有2p[1-(1-p)(1-2p)]=1===>p=1/2。

基本类型

简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。

这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。

Answer 2

P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=P^2+(1-P)^2
P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=2P(1-P)

P(XZ=1)=P(X=1)P(Y=1)=P^2
P(X=1)P(Z=1)=P*2P(1-P)=2P^2(1-P)
若X与Z独立，则P(XZ=1)=P(X=1)P(Z=1)，即P^2=2P^2(1-P)，解得P=1/2

Answer 3

P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=P^2+(1-P)^2
P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=2P(1-P)

P(XZ=1)=P(X=1)P(Y=1)=P^2
P(X=1)P(Z=1)=P*2P(1-P)=2P^2(1-P)
解得P=1/2

Answer 4

zzx

Answer 5

合同号