Question

用适当的方法判别级数的敛散性，谢谢

Answer 1

Answer 2

考察级数Σn²sin²nπ/2/3^n的通项an=n²sin²nπ/2/3^n，因为通项an的绝对值|n²sin²nπ/2/3^n|<=项n²/3^n，因为(n+1)²*3^n/3^(n+1)*n²=1/3(n+1/n)²=1/3，因此由比值审敛法得到级数Σn²/3^n收敛，因此原级数绝对收敛，从而原级数项Σn²sin²nπ/2/3^n收敛。

Answer 3

分享解法如下。∵sin²(nπ/2)=(1/2)[1-cos(nπ)]=(1/2)[1-(-1)^n]，∴n=2k，为偶数时，其值为0；n=2k-1时，其值为1，其中k=1,2，……。
∴级数∑(n²/3^n)sin²(nπ/2)=∑(2n-1)²/3^(2n-1)，n=1，2,3，……。再设an=(2n-1)²/3^(2n-1)。∴l=lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨=1/9<1。由比值判别法可知，级数收敛。
∴级数∑(n²/3^n)sin²(nπ/2)收敛。