Question

积分x2/(1+x4)dx

Answer 1

∫ x²/(1+x^4) dx

=(1/2)∫ (x²-1+x²+1)/(1+x^4) dx

=(1/2)∫ (x²-1)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (x²+1)/(1+x^4) dx

分子分同除以x²

=(1/2)∫ (1-1/x²)/(1/x²+x²) dx + (1/2)∫ (1+1/x²)/(1/x²+x²) dx

分子放到微分之后

=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x-1/x)

=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²+2-2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²-2+2) d(x-1/x)

=(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x)

=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C

=(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C

扩展资料：

对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

参考资料来源：百度百科——积分

Answer 2

本题解法技巧较高
∫ x²/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x²-1+x²+1)/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x²-1)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (x²+1)/(1+x^4) dx
分子分同除以x²
=(1/2)∫ (1-1/x²)/(1/x²+x²) dx + (1/2)∫ (1+1/x²)/(1/x²+x²) dx
分子放到微分之后
=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²+2-2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²-2+2) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x)
=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C
=(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C

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追问

有具体数字的 你的不对哦

追答

是定积分吗？你不给积分限，我怎么代数字，如果是不定积分，我这个结果是对的。

追问

0 到 正无穷

追答

lim[x→+∞] (√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
=0+(√2/4)*(π/2)=√2π/8
lim[x→0+] (√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
=0+(√2/4)*(-π/2)=-√2π/8

因此：(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] |[0→+∞]
=√2π/4

下次问题时要把题目写全，本题还无所谓，有些题目有积分限和无积分限差异很大的，有积分限就能做出来，没有积分限就做不出来。