Question

一次函数与二元一次方程（组）

（1）直线m：y=-x-1与直线n：y=kx+2(k＞0）的交点A在第二象限。直线n与x轴交于B于y轴交于C，∠AOC=∠ACO，则A的坐标为？B的坐标为？
（2）直线y1=3/4x+b与x轴负半轴交于D，OD=8/3与y轴交于B直线y2=kx-5与x轴正半轴交于C，OB=OC,两直线交于A。
①求y1与y2的解析式;
②求A的坐标及△ABC的面积。

Answer 1

一次函数与二元一次方程（组）解读
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一次函数与二元一次方程（组）是人教版八年级上册重点内容之一，它从“数”和“形”两个角度挖掘了一次函数与二元一次方程（组）本质上的联系，充分体现了数形结合的数学思想，为某些问题的解决提供了一种新的途径，为帮助同学们学好本节内容，本文从两个方面作一解读：
一、明确二元一次方程与一次函数的关系
1.从两者的定义看，一般地，形如ax
+
by
=
c
(其中a、b、c是常数，且ab≠0)的方程称为二元一次方程，它反映两个未知数x、y的取值所要满足的条件（即方程的解的意义）；形如y=kx+b(其中k、b是常数，且k≠0)的函数称为一次函数，它反映自变量x与函数y的一种对应关系．如：对于方程3x－5y=6来说，就是方程3x－5y=6的一个解，而对于一次函数y=x－来说，就是当自变量x=1时,函数y的值是－．
2.从两者的关系看，二元一次方程ax
+
by
=
c与一次函数y=kx+b的表达式可以相互转化，如3x－5y=6可以转化为y=x－，反之亦然．从“数”的角度看，
3x－5y=6和y=x－是同解的两个二元一次方程，二元一次方程3x－5y=6是一次函数的表达式y=x－变形后的另一种形式；从“形”的角度看，二元一次方程的解就是相应直线上点的坐标．如上述方程的一个解是直线y=x－上一个点的坐标（-3，-3），反之，直线y=x－上的点（-3，-3）是方程3x－5y=6的一个解．事实上，二元一次方程对应的图形是一条直线，二元一次方程的所有解恰与直线上所有点形成一一对应的关系，天衣无缝！
二、明确二元一次方程组的解与一次函数图象的交点的关系
一般地，
二元一次方程组大多是由两个二元一次方程组成的，它只有一个解，显然这个解就是相应两个一次函数图象（直线）的交点坐标。如方程组的解
，就是直线y=x－1）和y=－2x+5的交点坐标（2，1）．因此，一次函数图象（直线）的交点坐标（a，b）就是由相应的二元一次方程组解出来的，反过来，二元一次方程组的解
可由相应两条直线的交点坐标来求出（这叫用图象法解方程组，其关键是画准直线的位置）．
例
试判断同一平面上直线：y=2x－1，：y=－3x+1，：25x－10y=12是否经过同一点？
分析：因为两条直线相交只有一个交点，故可考查其中的任意两条直线（如、）是否有交点，即由它们的解析式组成的方程组是否有唯一解．当有唯一解时，将其解代入第三条直线（如）的解析式（25x－10y=12）中，若成立，说明第三条直线也经过前两条直线的交点，即这三条直线共点
；若不成立，说明这三条直线不共点．
简解：联立y=2x－1和y=－3x+1解方程组，得：x
=，y=
－，将x、y的值代入方程25x－10y=12，成立．故这三条直线共点[即都经过点（，－）]．如图所示．
注：本题亦可在求出和的交点后，再求与或与的交点，若求得的交点是同一点，则说明这三条直线都经过同一点．

Answer 2

(1) 因为直线n与y轴交于C，所以C点坐标（0,2）
因为∠AOC=∠ACO，所以A在线段CO的中垂线上，A点总纵坐标1 。
又A在直线m上，带入得A坐标（-2,1）。
A在直线n上，带入得k=1/2 。与x轴交点B（-4,0） 。
（2）由OD=8/3 ，得D点坐标（-8/3 ，0） ，带入直线y1，得y1=3/4 x + 2 。
与y轴交于B，得B（0,2） 。 因为OB=OC，得C点坐标（2,0） 。代入直线y2 ，得k= 5/2 。y2 = 5/2 x - 5 。 两直线交点，联立方程得到A（4 ，5） △ABC的面积=△ADC的面积 - △DBC的面积 = 1/2 x （2+8/3）x 5 - 1/2 x （2+8/3）x 2 = 7