Question

不定积分的分部积分法？

怎么用的分部积分法，我怎么看不出，xe的x 次方是什么函数，不是反对幂三指?而1/1+x是什么函数?帮帮忙，为我解答一下

Answer 1

如果能进行分部积分，则可以这么简单的说（不是标准定义哈，不严谨就是简单理解方法）：
假如一个函数f(x)可以看成两个函数的成绩：f(x)=g(x)h(x)，且f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，h(x)的原函数为H(x)，则
∫f(x)dx=∫g(x)h(x)dx=∫g(x)dH(x)=g(x)H(x)-∫H(x)dg(x)
验证也简单，对上面式子左右同时求导，左边是f(x)，右边是g'h+gh-hg'=g(x)h(x)，还是相等的
于是：
这道题中：f(x)=xe^x/(1+x)^2，解题过程中将g(x)=xe^x，h(x)=1/(1+x)^2进行分部积分
H(x)=∫1/(1+x)^2dx=∫1/(1+x)^2d(1+x)=-1/(1+x)
所以图里到第三个等号就变成了：∫f(x)dx=∫g(x)dH(x)=-∫xe^xd(1/(1+x))
应用分部积分公式可以知道：-∫xe^xd(1/(1+x))=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
展开右面那个微分，把积分变成dx的形式：∫(1/(1+x))d(xe^x)=∫(1/(1+x))(e^x+xe^x)dx=∫(1+x)e^x/(1+x)dx=∫e^xdx=e^x
加上积分常量C，就变成了解题过程：
∫f(x)dx
=-∫xe^xd(1/(1+x))
=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
=-xe^x/(1+x)+e^x+C