不定积分的分部积分法?
怎么用的分部积分法,我怎么看不出,xe的x次方是什么函数,不是反对幂三指?而1/1+x是什么函数?帮帮忙,为我解答一下...
怎么用的分部积分法,我怎么看不出,xe的x 次方是什么函数,不是反对幂三指?而1/1+x是什么函数?帮帮忙,为我解答一下
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如果能进行分部积分,则可以这么简单的说(不是标准定义哈,不严谨就是简单理解方法):
假如一个函数f(x)可以看成两个函数的成绩:f(x)=g(x)h(x),且f(x)的原函数为F(x),g(x)的原函数为G(x),h(x)的原函数为H(x),则
∫f(x)dx=∫g(x)h(x)dx=∫g(x)dH(x)=g(x)H(x)-∫H(x)dg(x)
验证也简单,对上面式子左右同时求导,左边是f(x),右边是g'h+gh-hg'=g(x)h(x),还是相等的
于是:
这道题中:f(x)=xe^x/(1+x)^2,解题过程中将g(x)=xe^x,h(x)=1/(1+x)^2进行分部积分
H(x)=∫1/(1+x)^2dx=∫1/(1+x)^2d(1+x)=-1/(1+x)
所以图里到第三个等号就变成了:∫f(x)dx=∫g(x)dH(x)=-∫xe^xd(1/(1+x))
应用分部积分公式可以知道:-∫xe^xd(1/(1+x))=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
展开右面那个微分,把积分变成dx的形式:∫(1/(1+x))d(xe^x)=∫(1/(1+x))(e^x+xe^x)dx=∫(1+x)e^x/(1+x)dx=∫e^xdx=e^x
加上积分常量C,就变成了解题过程:
∫f(x)dx
=-∫xe^xd(1/(1+x))
=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
=-xe^x/(1+x)+e^x+C
假如一个函数f(x)可以看成两个函数的成绩:f(x)=g(x)h(x),且f(x)的原函数为F(x),g(x)的原函数为G(x),h(x)的原函数为H(x),则
∫f(x)dx=∫g(x)h(x)dx=∫g(x)dH(x)=g(x)H(x)-∫H(x)dg(x)
验证也简单,对上面式子左右同时求导,左边是f(x),右边是g'h+gh-hg'=g(x)h(x),还是相等的
于是:
这道题中:f(x)=xe^x/(1+x)^2,解题过程中将g(x)=xe^x,h(x)=1/(1+x)^2进行分部积分
H(x)=∫1/(1+x)^2dx=∫1/(1+x)^2d(1+x)=-1/(1+x)
所以图里到第三个等号就变成了:∫f(x)dx=∫g(x)dH(x)=-∫xe^xd(1/(1+x))
应用分部积分公式可以知道:-∫xe^xd(1/(1+x))=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
展开右面那个微分,把积分变成dx的形式:∫(1/(1+x))d(xe^x)=∫(1/(1+x))(e^x+xe^x)dx=∫(1+x)e^x/(1+x)dx=∫e^xdx=e^x
加上积分常量C,就变成了解题过程:
∫f(x)dx
=-∫xe^xd(1/(1+x))
=-xe^x/(1+x)+∫(1/(1+x))d(xe^x)
=-xe^x/(1+x)+e^x+C
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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