Question

（2011•徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P。

（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

放大了，连起来看。   求采纳~

Answer 2

解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=-16+4b+3
得：b=

13
4
所以二次函数的关系式为：y=-x2+

13
4
x+3．

当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．

（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4-x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4-x）2
解得：x=

25
8
∴OP=4-

25
8
=

7
8
所以点P的坐标为：（

7 /8 ，0）综上可得点P的坐标为（7/8，0）．

Answer 3

28.（1）∵的顶点为C（1，-2），∴，．
（2）设直线PE对应的函数关系式为．由题意，四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．
由P(0，-1)，M（1，0），得．从而，
设E(，)，代入，得．
解之得，，根据题意，得点E(3，2)．
（3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根据题意，得F(1，-2)．
以上各步均可逆，故点F(1，-2)即为所求．

．

Answer 4

（1）因为知道a＞0，所以设顶点式y=（x-h）+k，把c带入就行了
（2）)先求出A.B.C.D.P点的坐标，ABCD构成菱形，连接P点与菱形对角线交点的直线平分成面积相等的两部分。由P点和交点坐标可求个解析式，解析式与B.D的解析式交点坐标就行了。
（3）先设个表达式，再根据韦达定理x1×x2为-1就行了

Answer 5

没有一个具体坐标吗？

追问

C（1，-2）

追答

（1）x^2-2x-1
(2)先由关系式求出A.B.C.D.P点的坐标，ABCD构成菱形，连接P点与菱形对角线交点的直线平分成面积相等的两部分。由P点和交点坐标可求出一个解析式，解析式与B.D的解析式交点坐标即为所求。
（3）可设出直线解析式，根据K1,K2的积为-1就可解出。