Question

麻烦请问下：已知3阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为0，矩阵B也是3阶矩阵

B第一列 1 2 3 第二列 2 4 6 第三列 3 6 k （k为常数）且AB=0 求 Ax=0的通解。05年数一的考题，不是特别理解。

Answer 1

解: 因为A的第一行非零, 所以 r(A)>=1
因为AB=0, 所以 r(A)+r(B)<=3, 且B的列向量都是Ax=0的解.
若k≠9, 则r(B)=2, 故 r(A)<=1
所以 r(A)=1. Ax=0 的基础解系含 3-1=2个解向量
所以 Ax=0 的通解为 c1(1,2,3)^T+c2(3,6,k)^T.
若k=9 (麻烦了)
r(B)=1, 所以 1<=r(A)<=2.
(1) r(A)=2 时, Ax=0 的基础解系含 3-2=1个解向量
Ax=0 的通解为 c(1,2,3)^T
(2) r(A)=1 时, Ax=0 的基础解系含 3-1=2个解向量
由于r(A)=1, 所以A经过初等行变换化为
a b c
0 0 0
0 0 0
同解方程组为 ax1+bx2+cx3=0
需分别讨论a,b,c不等于0的情况.

追问

您好,但是解答中最后一种可能只讨论了c不等于0的情况
,即当A的秩等于1.B的秩也等于1的时候.这时候k=9,因为之前讨论了c=0的情况,所以,这里只讨论c!=0的情况,这样解出来,书上是把x1 和x2作为自由变量,得出的解是 t1(c,0,-a)T+t2(0,c,-b)T.这样就结束了。请问这样可以吗？是否完整。

追答

应该可以. ax1+bx2+cx3=0 的解当a,b,c中任一不为0的形式中类似的, 给出一个就可以
因为没有别的信息了, 只能这样