线性方程组的一道题
x1+x2+x3=a+b+cax1+bx2+cx3=a2+b2+c2bcx1+acx2+abx3=3abc问abc满足什么条件，线性方程组有唯一解，并求其解。各位帮帮忙...
x1+x2+x3=a+b+c
ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2
bcx1+acx2+abx3=3abc
问abc满足什么条件，线性方程组有唯一解，并求其解。
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ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2
bcx1+acx2+abx3=3abc
问abc满足什么条件，线性方程组有唯一解，并求其解。
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解: 系数行列式 D =
1 1 1
a b c
bc ac ab
r2-ar1,r3-bcr1
1 1 1
0 b-a c-a
0 c(a-b) b(a-c)
r3+cr2
1 1 1
0 b-a c-a
0 0 (b-c)(a-c)
= (b-a)(b-c)(a-c).
线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)=n=3
所以方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等
求出这个方程组的唯一解的方法:
1. 观察: 三个方程有规律, (a,b,c) 是解
2. 用Crammer法则:
D1 =
a+b+c 1 1
a^2+b^2+c^2 b c
3abc ca ab
c1-bc2-cr3
a 1 1
a^2 b c
abc ca ab
第1列提出a
D1 = aD
同理得
D2 = bD
D3 = cD
因为a,b,c为不相等的常数, 所以 D≠0.
所以 x=D1/D=a, y=D2/D=b, z=D3/D=c.
1 1 1
a b c
bc ac ab
r2-ar1,r3-bcr1
1 1 1
0 b-a c-a
0 c(a-b) b(a-c)
r3+cr2
1 1 1
0 b-a c-a
0 0 (b-c)(a-c)
= (b-a)(b-c)(a-c).
线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)=n=3
所以方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等
求出这个方程组的唯一解的方法:
1. 观察: 三个方程有规律, (a,b,c) 是解
2. 用Crammer法则:
D1 =
a+b+c 1 1
a^2+b^2+c^2 b c
3abc ca ab
c1-bc2-cr3
a 1 1
a^2 b c
abc ca ab
第1列提出a
D1 = aD
同理得
D2 = bD
D3 = cD
因为a,b,c为不相等的常数, 所以 D≠0.
所以 x=D1/D=a, y=D2/D=b, z=D3/D=c.
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