Question

已知在RT三角形ABC中，∠C=90，BC=6，AC=8，P是边AB的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A

∠MPN的两边分别交AC于点M、N
（1）当∠MPN绕点P转动时，设CN=X，AM=Y,写出Y关于X的函数解析式及X的取值范围
（3）连结BM，是否存在点M，使三角形BMP与三角形ANP相似，若存在，请求出X的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）连接PC（图1）

因为∠C=90，BC=6，AC=8，P是边AB的中点

所以AB=10，PC=AP=5，角PCN=角A=角MPN

所以角CPN+CNP=PMN+MNP

所以角CPN=PMA

所以三角形CPN与AMP相似

所以CP/CN=AM/AP

所以5/x=y/5

所以y=25/x，

当M与C重合时，有三角形AMP相似PMN，（图2）

所以PM/MN=AM/PM，5/MN=8/5，得MN即CN=25/8

所以有y=25/x，25/8<=x<=8

（2）由角BPM+MPN+APN=ANP+角A+APN=180度得角BPM=ANP

所以要使三角形BMP与ANP相似，有两种情况

第一种，角MBP=角A，这时BM=MA（图3）

设CM=a，有BM=MA=8-a，BC=6

所以(8-a)平方=a平方+6平方，解得a=7/4即CM=7/4，AM=y=25/4，x=4

第二种，角角BMP=角A=角MPN，这时PN平行BM（图4）

因为AP=BP

所以AN=MN

所以CN=CM+MN=（8-y）+y/2=8-y/2，即x=8-y/2或者y=16-2x

代入y=25/x即xy=25得：x(16-2x)=25，角得x=(8-根号14）/2（舍去）和（8+根号14）/2

综上，存在点M使三角形BMP与三角形ANP相似，

这时x=4或（8+根号14）/2