Question

线性代数证明题

Answer 1

知识点:
1.(AB)^T=B^TA^T
2.(A^T)^-1=(A^-1)^T
3.A是正交矩阵, 则A^T=A^-1
4.若AB=BA且A可逆, 则 A^-1B=BA^-1

证明: B^T=[(A+I)(A-I)^-1]^T
= (A-I)^-1^T(A+I)^T ----知识点1
= (A-I)^T^-1(A+I)^T --知识点2
= (A^T-I^T)^-1(A^T+I^T)
= (A^-1-I)^-1(A^-1+I) --知识点3
= (A^-1-I)^-1(A^-1A)(A^-1+I)
= (I-A)^-1(I+A)
= -(A-I)^-1(A+I)
= -(A+I)(A-I)^-1 --知识点4
= -B.
所以B是反对称矩阵.

Answer 2

条件是A^TA＝I，而A^T－A＝－A+A^T，
等式左边加上A^TA－I，右边加上I－A^TA，得
(A－I)^T(A+I)＝－(A+I)^T(A－I)。
由于A－I可逆，等式两边左乘(A－I)^(－T)，右乘(A－I)^(－1)，
(A+I)(A－I)^(－1)＝－(A－I)^(－T)(A+I)^T，
即B＝－B^T。于是B是反对称阵。