答案:-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
解题过程:
∫ 1/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
扩展资料
在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数 F ,即F ′ = f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
参考资料来源:百度百科-不定积分
答案为-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
解题过程如下:
∫ 1/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
扩展资料
一般定理
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
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=∫[1/x^4-1/(x^4+x^2)]dx
=-1/3*x^(-3)-∫1/(x^4+x^2)]dx
=-1/3*x^(-3)-∫[1/x²-1/(x²+1)]dx
=-1/(3x³)+1/x+arctanx+C