答案：-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
解题过程：
∫ 1/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
扩展资料
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
参考资料来源：百度百科-不定积分
答案为-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
解题过程如下：
∫ 1/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
扩展资料
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
=∫ (1+x²-x²)/[x^4(x²+1)] dx
=∫ (1+x²)/[x^4(x²+1)] dx - ∫ x²/[x^4(x²+1)] dx
=∫ 1/x^4 dx - ∫ 1/[x²(x²+1)] dx
=-1/(3x³) - ∫ 1/x² dx + ∫ 1/(x²+1) dx
=-1/(3x³) + 1/x + arctanx + C
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=∫[1/x^4-1/(x^4+x^2)]dx
=-1/3*x^(-3)-∫1/(x^4+x^2)]dx
=-1/3*x^(-3)-∫[1/x²-1/(x²+1)]dx
=-1/(3x³)+1/x+arctanx+C
