Question

双曲函数（一）——双曲余弦函数

Answer 1

双曲余弦函数的定义是这样的。

具体这个定义是怎么来的，可能和双曲线有关系，这里我就不商讨了。而且双曲余弦函数y=coshx也可简写为y=chx。y=chx和y=coshx都是一样的。

双曲余弦函数的定义域是 ，值域是 ，当x=0时，x取到最小值1。

由于

而

根据加法交换律可得知f(x)=f(-x)，很明显，双曲余弦函数是偶函数。

双曲余弦函数y=cosh x，在区间 内它是单调减少的，在区间 内它是单调增加的。cosh 0=1是该函数的最小值。

根据双曲余弦函数的导数，可知由于分母是永远大于0的，而分子中 也是永远大于0。只有 在x=0时是等于0。在x<0时。 <0。在x>0时。 得出当x<0时，双曲余弦函数的导数永远小于0。当x>0时，双曲余弦函数的导数永远大于0。那么它在 内单调递减的，在 内单调递增。在x=0时，最小值为1。无最大值。

由于(coshx)'= ，那么双曲余弦函数的二阶导数为那么(coshx)''=( )'=( )'= =coshx，可见双曲余弦函数的二阶导数是它本身。而双曲余弦函数的值域是 。那么双曲余弦函数的二阶导数在实数集R上恒大于0。

而根据函数凹凸性的判定方法（定理）：

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶导数和二阶导数，那么：

(1)若在（a,b）内，f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

(2)若在（a,b）内，f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

根据上面的函数凹凸性判断定理。得出那么无论是在那个单调区间，双曲余弦函数都是凹函数。

无论是双曲余弦函数y=cosh x，还是双曲正弦函数y=sinh x、双曲正切函数y=tanh x，它们都不是周期函数。

双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数。即(coshx)'=sinhx，也可以转化为(coshx)'=sinhx= =

其中，C为常数。可见，双曲余弦函数的不定积分，除去常数C，也是双曲正弦函数。

双曲余弦函数的泰勒展开式为：

即

双曲余弦函数的反函数是反双曲余弦函数。它记作arcoshx。其中，x满足条件： 。反双曲余弦函数的图像原本有x轴上方的一支和x轴下方的一支。即且这两支关于x轴对称。但是，这样子会造成一个自变量x对应两个函数值，不符合函数的定义。为了符合函数的定义，一般取x轴上方的那一支。因而得到了反双曲余弦函数的定义式。 ，其中 。双曲余弦的反函数，即反双曲余弦函数y=arcoshx的定义域为[1，+∞）。它在[1，+∞）上是单调递增的。

双曲余弦函数的图像是一条有点像抛物线（二次）但不是抛物线的曲线。因这条曲线与两端固定的绳子（或铁链）在均匀引力作用下下垂相似。这条曲线称作悬链线。悬链线就是双曲余弦函数的图像。悬链线的数学表达式为 。其中，a为常数。当a=1时，所得的函数（图像）正好是双曲余弦函数（图像）。

双曲余弦函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。其中，拉普拉斯方程可能用到双曲余弦函数外，还有双曲正弦函数、双曲正切函数等。