(3)已知x>-1,求y=x²+3x+4/x+1的最小值？
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利用分离常数法，再结合基本不等式来解决。
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解：y＝（x^2+3x＋4）／（x＋1）
∴y＇＝[（x^2+3x＋4）＇（x＋1）-（x^2+3x＋4）（x＋1）＇]／（x＋1）^2
＝[（2x＋3）（x＋1）-（x^2＋3x＋4）]／（x＋1）^2
＝（x^2＋2x-1）／（x＋1）^2
令y＇＝0，则x^2+2x-1＝0，x1＝-1-√2，x2＝-1＋√2
当x＞-1＋√2时，y＇＞0，y是单调增函数；
当-1＜x＜-1+√2时，y＇＜0，y是单调减函数
∴当x＝-1＋√2时，y的最小值＝[（-1+√2）^2＋3（-1+√2）＋4]／√2
＝（√2+4）／√2
＝2＋4√2
∴y＇＝[（x^2+3x＋4）＇（x＋1）-（x^2+3x＋4）（x＋1）＇]／（x＋1）^2
＝[（2x＋3）（x＋1）-（x^2＋3x＋4）]／（x＋1）^2
＝（x^2＋2x-1）／（x＋1）^2
令y＇＝0，则x^2+2x-1＝0，x1＝-1-√2，x2＝-1＋√2
当x＞-1＋√2时，y＇＞0，y是单调增函数；
当-1＜x＜-1+√2时，y＇＜0，y是单调减函数
∴当x＝-1＋√2时，y的最小值＝[（-1+√2）^2＋3（-1+√2）＋4]／√2
＝（√2+4）／√2
＝2＋4√2
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设t=x+1>0,
y=[(t-1)^2+3(t-1)+4]/t
=(t^2+t+2)/t
=t+2/t+1
≥2√2+1，
当t=√2时取等号，
所以y的最小值=2√2+1.
y=[(t-1)^2+3(t-1)+4]/t
=(t^2+t+2)/t
=t+2/t+1
≥2√2+1，
当t=√2时取等号，
所以y的最小值=2√2+1.
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