Question

数学！急

四棱锥P－ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝CD＝2，PA＝2，E，F分别是PC，PD的中点．
(Ⅰ) 证明：EF∥平面PAB；
(Ⅱ) 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

(1) 证明：因为E，F分别是PC，PD的中点
所以EF//CD//AB
因为AB是平面PAB中的直线
所以EF//平面PAB
(2) 建立空间坐标系A(0,0,0) P(0,0,2) B(2,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)
E(1,1,1) F(0,1,1)
AF=(0,1,1) AB=(2,0,0) AC=(2,2,0)
设平面ABEF的法向量n=(x,y,z)，直线AC与平面ABEF的夹角为a
AF⊥n => AE*n=y+z=0
AB⊥n => AB*n=2x=0
令y=1，则x=0 z=-1，n=(0,1,-1)
所以sina=|AC*n|/(|AC|*|n|)
=2/(2√2*√2)
=1/2

Answer 2

证明：(1)在三角形PDC中EF是中位线，所以EF//DC.
由于AB//CD且相等，所以ABCD为平行四边形所以DC//AB
所以EF//AB,且EF不在面PAB上
所以EF//平面PAB
(2)有个叫射影定理啥的，再把已知条件都用上就可以算出来。

Answer 3

（1）典型的中位线EF//CD//AB,EF不在面PAB内，所以结论成立
（2）用向量做即可有已知条件显然ABCD是正方形又PA垂直面ABCD因此以AD所在直线为X轴，AB所在直线为Y轴，AP所在为Z轴建立直角坐标系
A（0,0,0）D（2,0,0）B（0,2,0）P（0,0,2）C（2,2,0）E（1,1,1）F（1,0,1）
求得AC向量 以及面ABEF的法向量
再利用公式就可以得到结果了
敲键盘太麻烦了 又不能用编辑器，你自己算吧

Answer 4

因为AB平行且等于CD,所以四边形ABCD一定是平行四边形，又因为AB=AD=CD=2，AB垂直AD 所以四边形ABCD必为正方形。又因为E，F分别是PC，PD的中点． 所以在三角形PCD中EF平行且等于二分之一CD,又CD平行AB，所以EF平行AB。而EF不属于面PAB,AB属于面PAB,从而EF平行面PAB.。