Question

一个椭圆和一个双曲线共焦点，左右焦点分别为F1,F2，两曲线在第一象限内的交点为P，

一个椭圆和一个双曲线共焦点，左右焦点分别为F1,F2，两曲线在第一象限内的交点为P，三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1*e2+1的取值范围

Answer 1

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．
由题意知r1=10，r2=2c，
且 r1＞r2，2r2＞r1，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
⇒5/2 ＜c＜5．⇒1＜25/c^2＜4，

∴e1=2c/2a双=2c/(r1-r2)=2c/(10-2c)=c/(5-c)； （“a双”指的是双曲线的半实轴长a）
e2=2c/2a椭=2c/(r1+r2)=2c/(10+2c)=c/(5+c) ． （“a椭”指的是椭圆的半长轴长a）
∴e1•e2=c^2/25-c^2=1/(25/c^2-1) ＞1/3 ，
∴ e1•e2+1＞4/3

望采纳，若不懂，请追问。

Answer 2

设F1(-c,0),F2(c,0),P在第一象限
三角形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形
那么PF2=F1F2=2c
∵PF1=10∴ 4c>10,c>5/2
∵P是椭圆上的点 (设椭圆的半长轴长为a)
∴|PF1|+|PF2|=10+2c=2a
∴ e1=c/a,a=c/e1 , 5+c=c/e1,
e1=c/(5+c)
又P是双曲线上的点 (设双曲线的实半轴长为a')
∴|PF1|-|PF2|=10-2c=2a'>0 ,c<5
∴ c/a'=e2, a'=c/e2, 5-c=c/e2
∴e2=c/(5-c)
∴e1e2+1
=c²/(25-c²)+1
=25/(25-c²)
∵5/2<c<5
∴0<25-c²<75/4
∴25/(25-c²)>4/3
即e1e2+1>4/3