Question

设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值

Answer 1

|A+I|=|A+AA^T|=|A|*|I+A^T|=|A|*|I+A|=-|A+I|，其中倒数第二个等号是因为转置得行列式等于本身，移项得结果。n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

n阶行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变。

性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

Answer 2

证明:|A+E|

= |A+AA^T|

= |A(E+A^T)|

= |A||(E+A)^T|

= |A||A+E|

所以 |A+E|(1-|A|)=0

因为 |A|

且|^因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1

|A+E|

=|A+AA^T|

= |A(E+A^T)|

证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=1/λ

λ^2=，λ=1.-1

扩展资料：

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 3

这个证明很简单，过程如下：
1. 由AAT=E可知，A是一个正交矩阵，那么A中任何一个特征值的模都为1；
2. 假设A的所有特征值都是1，那么A的行列式必然等于1，这与A的行列式小于0矛盾，因此假设不成立，所以-1是A的一个特征值，证毕！

Answer 4

证明: |A+E|
= |A+AA^T|
= |A(E+A^T)|
= |A||(E+A)^T|
= |A||A+E|
所以 |A+E|(1-|A|)=0
因为 |A|<0, 所以 1-|A|≠0
所以 |A+E|=0
所以 -1 是A的特征值.