Question

求证1到n的立方和为什么等于（1+2+……+n）的平方

Answer 1

如果仅仅是为了证明这条公式，那么用数学归纳法就够了
归纳法证明:（1）当n=1时，显然成立
（2）设n=k时成立，则1^3+2^3+~~~~~+k^3=[k(k+1)/2]^2
当n=k+1时，1^3+2^3+~~~~~+k^3+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=(k+1)^2[(k/2)^2+k+1]
=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]
=(k+1)^2[(k+2)/2]^2
=(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2
即n=k+1时也满足
综合(1)(2)知 1^3+2^3+~~~~~+n^3
=[n(n+1)/2]^2

如果学到微积分的话，你会发现自然数的平方和，立方和，4次方和，5次方和...等等，都有计算公式，它们都只是泰勒公式的一个简单特例而已。
如果是初等数学爱好者，教你一个可以推导出3次方和的方法，你可以用这个方法自己推导出4次方和，5次方和...等等。
已知
0次方和的求和公式∑N^0＝N+1
1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2
2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6
用恒等式公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
两边分别求和X＝0到N的情形，特别注意左边可以逐项化减
左边＝(N+1)^4
右边＝4∑N^3+6∑N^2+4∑N^1+∑N^0
将右边的4∑N^3移到左边，左边的(N+1)^4移到右边
就会得到公式
4∑N^3＝(N+1)^4+6∑N^2+4∑N^1+∑N^0
将上面已知的求和公式代进去，化简后，就会得到求和公式
∑N^3＝(N(N+1)/2)^2
同样的方法，可以求出4次方和5次方和等的求和公式

Answer 2

可以用代定系数法
因为1到n的立方和是个4次式
然后用1到4代定求解，最多用数学归纳法证明下
等于那个的平方只是巧合，也可以方便记忆