Question

n阶矩阵A与B有相同特征值，且n个特征值互不相同能否说明A与B相似？相同的行吗？

Answer 1

A与B相似并不相同，理由如下：
1. A与B矩阵都有n个互不相同的特征值，说明了A和B都是非退化(nondefective)矩阵，即存在非奇异矩阵Q1和Q2使得：Q1^-1 * A * Q1 = D1、Q2 * B * Q2^-1 = D2；
2. 由于A和B有相同的特征值，因此D1和D2本质上是相同的，即存在排列矩阵P使得：P^-1 * D1 * P = D2；
3. 将上式全部合并可得：(Q1 * P * Q2)^-1 * A * (Q1 * P * Q2) = B，即A与B相似。不相同的道理是显然的，不加以赘述。

追问

我指的是两个矩阵的特征值如果均含有同一个数且重数相同的情况下两个矩阵还相似吗？

追答

不一定相似，反例：
A = [1 1; B = [1 0
0 1] 0 1]
A与B的特征值均含有同一个数1且重数相同，但A与B不相似。