Question

圆柱与圆锥

Answer 1

  在之前五年级时，我们已经学习了正方体和长方体，它们都是立体图形。并且在之前，我们还学习了图形的构成，有折叠，平移，旋转，展开等构成方式。

折叠：

  折叠就是把二维图形变成三维图形。

平移：

  平移也是把二维图形变成三维图形，但是它看的是二维图形的运动轨迹。

展开：

  展开和平移，折叠有不同，因为平移，折叠是把二维图形变成三维图形，但是展开却是把三维图形变成二维图形。

  根据之前学的这些图形构成，我们可以把圆柱体和圆锥体引出来了。

  圆柱体的建构，可以先从平移来看

圆柱体的平移就是把一个圆垂直向上移动一定距离，运动轨迹就是圆柱体。

  接下来是展开

  展开时候可以看到圆柱体展开后就是两个圆和一个长方形。

  然后是旋转。圆柱体的旋转有两种办法，第一种是以长方形的长或宽的中点为对称轴，顺时针或逆时针旋转180°，它的运动轨迹就是圆柱体。第二种办法是直接以长方形的长或宽为旋转轴，顺时针或逆时针旋转360°，它的运动轨迹就是圆柱体。

  然后是折叠的建构方法：

让长方形的两条长或者两条宽重合，形成一个圆柱体。

  圆锥的建构和圆柱的流程相似。首先先把圆锥体展开成二维图形：

  展开后的圆锥是一个扇形（或者可以理解为曲边三角形）加一个圆。

  然后是旋转，旋转的话只能按照一个直角三角形来转，绕着直角三角形的直角边，顺时针或者逆时针旋转360°，运动轨迹就是圆锥体。折叠的话就是按照一个曲边三角形来看，让两条直边重合，折叠形成圆锥体。

  然后是圆锥体和圆柱体的命名：

  圆柱体的底面，就是圆柱体上面和下面的两个圆。圆柱体的高是两个底面圆心相接形成的一条线。而底面半径就是两个圆的半径。侧面，既可以理解为展开后的长方形，也可以理解为除了两个底面以外的面积。

圆锥体的底面是圆锥体唯一的圆。高是顶点到底面圆心的距离形成的线。侧面既可以理解为展开后的扇形（曲边三角形），也可以理解为除圆以外的面积。母线是从顶点垂直往下，到底面任意一个点的线。

  圆柱的表面积，可以先看一下圆柱体的展开图，就是两个圆和一个长方形，这时就可以知道，圆柱体的表面积就是圆柱的侧面积和底面积，就是一个长方形和两个圆的面积。这样就可以推导出圆柱体表面积公式了。长方形的面积，就是长乘宽，而在一个展开的圆柱体中，长方形的长就是底面的周长，长方形的宽就是圆柱体的高。底面周长：2πr，高：h。底面面积：πrr（πr的方），因为有两个底面，所以要看为：2πrr（2πr的方）。把这些加起来，就是：2πrh➕2πrr。

  圆锥体公式推导也同样，先把圆锥体展开，为一个曲边三角形和圆。如果按照曲边三角形的话，三角形的面积公式是底乘高➗2，这时候我们可以看到，曲边三角形的底就是底面的周长：2πr，高就可以理解为母线，所以就是2πrl➗2。

  接下来就是体积了。圆柱体的体积可以切割一下，把它分割之后，可以看为一个长方体：

把它看成长方体之后，可以给长方体和圆柱体对应一下。长方体的高就是圆柱体的高，而长方体的长是底面周长的一半，长方体的宽是圆柱体的底面半径。长方体的体积公式是长✖️宽✖️高，所以可以对应一下，圆柱体的高✖️底面周长的一半✖️底面半径等于圆柱体的体积，对应一下字母。圆柱体的高：h，底面周长的一半：2πr➗2，底面半径：r。h2πr➗2r。合一下，把r合在一起，把2抵消掉，最后留下的公式就是，πrrh。

  圆锥体的体积怎么算呢？可以先做一个实验，找到一个圆柱体容器，和圆柱体容器同底等高的圆锥体容器，先在圆柱体容器中装满水，再倒入圆锥体容器中，可以发现，刚好可以倒3次。说明与圆柱体同底等高的圆锥体是那个圆柱体的1/3。这时候我们已经知道了圆柱体的体积公式，就可以推导出圆锥体的体积公式是：1/3πr的方。

  接下来是实际应用。实际应用中，归纳了几类常用的题型：

圆柱体：

1.已知底面半径，高，求体积，表面积。

2.已知底面周长，面积，求体积，表面积。

3.已知体积，表面积，求高，半径。

圆锥体：

1.已知母线，底面半径，求表面积。

2.已知表面积，底面半径，求母线。

  最后我还想探索一下，比如说圆台的体积和表面积的求法。或者球体的体积和表面积的求法。

  圆柱和圆锥的探索就到这里了，希望对于它们的探索可以帮助之后更多的学习。