Question

设y=f(x)的反函数是x=ψ(y),且f(x)=∫1到2x e^(t方)dt +1,则ψ‘’（1）=

求具体过程，还有ψ‘’指的是对Y导么，对Y导时是不是还要再进一步对X导，
答案是-1/e方

Answer 1

答案是-1/e方。

y = ƒ(x) x = ψ(y)
dx/dy = ψ'(y) = 1/(dy/dx) = 1/ƒ'(x)
d²x/dy² = ψ''(y) = d(dx/dy)/dy = d[1/(dy/dx)]/dy = [1/ƒ'(x)]' = - ƒ''(x)/[ƒ'(x)]²
ƒ(x) = ∫(1→2x) e^t² dt + 1
ƒ'(x) = 2 * e^(2x)² = 2e^(4x²)
ƒ''(x) = 2 * 8xe^(4x²) = 16xe^(4x²)
ψ''(y) = - [16xe^(4x²)]/[2e^(4x²)]²
= - [16xe^(4x²)]/[4e^(8x²)]
= - 4x/e^(4x²)

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

Answer 2

y = ƒ(x) <=> x = ψ(y)
dx/dy = ψ'(y) = 1/(dy/dx) = 1/ƒ'(x)
d²x/dy² = ψ''(y) = d(dx/dy)/dy = d[1/(dy/dx)]/dy = [1/ƒ'(x)]' = - ƒ''(x)/[ƒ'(x)]²

ƒ(x) = ∫(1→2x) e^t² dt + 1
ƒ'(x) = 2 * e^(2x)² = 2e^(4x²)
ƒ''(x) = 2 * 8xe^(4x²) = 16xe^(4x²)

ψ''(y) = - [16xe^(4x²)]/[2e^(4x²)]²

= - [16xe^(4x²)]/[4e^(8x²)]
= - 4x/e^(4x²)