Question

2008年4月6日全国初中数学竞赛第14题（最后一题）

已知有6个互不相同的正整数A1,A2...,A6且A1<A2<...<A6从这6个数中任意取出了3个数，分别设为Ai，Aj,Ak其中i<j<k，记f=(i,j,k)=1/Ai+2/Aj+3/Ak 证明一定存在3个不同的数组（i,j,k）其中1≤i<j<k≤6，使得对应着3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5

Answer 1

由已知 正整数A1,A2...,A6且A1<A2<...<A6 可得2≤A2<A3
取3组数A2 A5 A6，A3 A5 A6，A4 A5 A6
f=(i,j,k)=1/Ai+2/Aj+3/Ak 分别记为f1 f2 f3 ，则
f1-f2=1/A2-1/A3 <1/A2≤1/2
f1-f3=1/A2-1/A4<1/A2≤1/2
f2-f3=1/A3-1/A4<1/A3<1/2
加上绝对值亦成立
故命题得证

Answer 2

首先,6个正整数A1,A2...,A6,取3个数共有C(3,6)=20种取法,所以对于给定的A1,A2...,A6,f(i,j,k)有20种取值可能

又f(i,j,k)<=(1/3)+(2/2)+(3/1)=13/3.
我们将0到(13/3)进行分段:
0到(1/2)一段,(1/2)到1一段,1到(3/2)一段
...4到(13/3)一段.
共分为9段.
又f(i,j,k)在这9段中取值,又对于给定的A1,A2...,A6,f(i,j,k)有20种取值可能
因为20=9*2+2,于是必有3个f(i,j,k)落在同一段中
即3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5

Answer 3

赞同二楼的

Answer 4

等等我算下