Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90度，D为AC边上的中点，过D点作DE垂直于DF，交AB于E,交BC于F，求证：

(1)EB=FC (2)EF^2=AE^2+CF^2

Answer 1

过点D分别作DM⊥AB，DN⊥BC，M、N是垂足，

∵AB=BC，D为AC边上的中点，

∴点D在∠ABC的平分线上，故DM=DN，

∵∠ABC=90°，∴∠MDN=360°-3×90°=90°，

∵∠EDF=90°

∴∠MDE=∠MDN-∠EDN=90°-∠EDN=∠EDF-∠EDN=∠NDF，

∴Rt△DME≌Rt△DNF(AAS)，

∴EM=FN，

∵DM//BC，DN//AB，

∴M、N分别是AB、BC的中点，

∵EM=AE-AM=4-1/2AB，FN=CN-CF=1/2BC-3=1/2AB-3，

∴4-1/2AB=1/2AB-3，即AB=7，

∴BE=AB-AE=7-4=3，BF=BC-CF=7-3=4，

∴EF=√(BE²+BF²)=√(3²+4²)=5。

Answer 2

(1) 连接BD
∵ △ABC为等腰直角三角形，D为斜边的中点
∴ BD⊥AC
∵ BD=DC=AD
∠ABD=∠ACB=45°
∵ED⊥DF，BD⊥AC
∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF
∴△DFC≌△EDB
即 EB=FC
(2) ∵ △DFC≌△EDB
∴ DE=DF 则△DEF为等腰直角三角形

Answer 3

证明

(1)

因为 △ABC是等腰直角三角形, 所以∠A=∠C=45度

因为DF⊥BC, DE⊥AB

所以△DFC是等腰直角三角形, 四边形BEDF是矩形

于是有DF=CF, DF=BE

于是就证明了EB=FC

(2)

因为△ADE也是等腰直角三角形

所以有DE=AE

又因为三角形DEF是直角三角形, 所以就有

于是AE²+CF²=DE²+DF²=EF²

追问

因为△ADE也是等腰直角三角形
哪里有说过啊~