Question

求定积分∫dx/(√1-x)-1【上限为1,下限为3/4】

我怎么算都是-1+2ln2 答案是1-2ln2 怎么搞的。。。

Answer 1

解：
令u=√(1-x)，则x=1-u²，dx=-2u du
∫dx/[√(1-x)-1]
=∫-2udu/(u-1)
=-2∫u/(u-1) du
=-2∫(u-1+1)/(u-1)du
=-2∫[1+1/(u-1)] du
=-2u-2ln|u-1|+C
=-2√(1-x)-2ln|√(1-x)-1|+C
故所求的定积分=0+[2√(1-3/4)+2ln|√(1-3/4)-1|]=2×1/2+2ln(1/2)=1+2ln(1/2)=1-2ln2

追问

我是把
[√(1-x)-1]=t的 怎么算出来不对啊？？

追答

这个我没算过，不清楚。

追问

就是算出来是-2t-2lnt -1到-0.5

追答

会不会是前面化简过程少了个负号。
[√(1-x)-1]=t

√(1-x)=t+1
1-x=(t+1)²
dx=-2(t+1) dt

追问

负号我有的 我算到后面就感觉不对了 你帮我看下错在哪里吧

追答

是-0.5到-1
不是-1到-0.5，这个你弄错了

Answer 2

∫dx/[√(1-x)-1]
=∫[√(1-x)＋1]dx/﹙－x﹚
=－∫√﹙1－x﹚dx/x－㏑x
令√﹙1－x﹚=t，t上限0,下线1/2
=－∫td﹙1－t²﹚/﹙1－t²﹚－㏑x
=－2t－2㏑﹙1﹣t﹚＋㏑﹙1－t²﹚﹣㏑x
带入后
0＋0＋0＋0－﹙－1﹢2㏑2﹣㏑﹙3/4﹚＋㏑﹙3/4﹚﹚
=1-2ln2
注意t上限是0，下限是1/2而不是下限0，上限1/2
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