Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵抛物线y=ax^2+bx+c经过A、B、C三点，
则有：a-b+c=0 ①
9a+3b+c=0 ②
c=3 ③
联立①②③形成方程组并解之得：
a=-1，b=2，c=3
∴抛物线的解析式为：y=-x^2+2x+3
=-（x-1)^2+4
∴直线l为：x=1
设P点纵坐标为n，则P点坐标为（1，n)；
又IACI=√[（-1）^2+3^2]
=√10
IAPI=√[(-1-1)^2+n^2]
=√(n^2+4)
ICPI=√[1^2+(n-3)^2]
=√[(n-3)^2+1]
∴△PAC的周长L=IAPI+ICPI+IACI
=√(n^2+4)+√[(n-3)^2+1]+√10
当△PAC的周长最小时，n=1
∴P点坐标为（1,1）
设直线l上存在一点M，使△MAC为等腰三角形的M点的纵坐标m；
则M点的坐标为（1，m）；
∴IACI=√10
IAMI=√(m^2+4)
ICMI=√[(m-3）^2+1]
∴①当IACI=IAMI时，△MAC是等腰三角形，即：√10=√（m^2+4)
解之得：m=±√6
∴M点坐标为（1，-√6），（1，√6）
②同理，当IACI=ICPI时，△MAC也是等腰三角形，即：
√10=√[(m-3)^2+1]

解之得：m=0，m=6
∴M点的坐标为（1，0），（1,6）
③同理，当IMAI=IMCI时，△MAC也是等腰三角形，即：
√(n^2+4)=√[(m-3)^2+1]

解之得：m=1
∴M点的坐标为(1，1）
综上所述，在直线l上存在点M，使△MAC为等腰三角形的M点坐标有：
（1，-√6），（1，,6），（1，0），（1,6），（1,1）

Answer 2

解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
a-b+c=09a+3b+c=0c=3​，
解得：a=-1b=2c=3​
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
3k+b=0b=3​，解得：k=-1b=3​
∴直线BC的函数关系式y=-x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x=-b2a=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=m2-6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=±6；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，6）（1，-6）（1，1）（1，0）．

Answer 3

 

Answer 4

 

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