Question

△ABC中，∠C=π/2，AC=1，BC=2，则f(入）=|2λCA+(1-λ)CB|的最小值 ？（ CA,CB为向量 ）

请写清楚过程谢谢

Answer 1

f(入)=|2λCA+(1-λ)CB|.
又AC²=|AC|²，BC²=|BC|²，CB·CA=|AC||BC|cos∠C=0。

|2λCA+(1-λ)CB|²=[2λCA+(1-λ)CB][2λCA+(1-λ)CB]=4λ²CA²+2λ(1-λ)CB·CA+(1-λ)²CB²
=4λ²+4(1-λ)²=4(2λ²-2λ+1)=8[λ²-λ+(1/2)]=8[(λ-(1/2)²+1-(1/4)]=8[(λ-(1/2)²+(3/4)]=8[(λ-(1/2)²]+6.

故f(λ)的最小值为6.

Answer 2

CA垂直于CB ==》
(f(λ))^2 = (2λ|CA|)^2 +((1-λ)|CB|)^2=4λ^2+4(1-λ)^2 = 8(λ^2-λ +1/2)=8(λ-1/2)^2 + 2
==> 当 λ=1/2时 f(λ)= 根2 为最小值。