Question

分布函数

Answer 1

定义:设X是一个随机变量，x是任意实数,函数 称为X的分布函数.
①定义域：
②值域： (非负性和有界性)
③应用：对于任意的x ₁ ,x ₂ ,存在x ₁ <x ₂ ,那么

                                  
④分布函数：正是引入了分布函数，因此可以采用高等数学中的工具，来研究随机现象。

将X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-o,x]上的概率.

求X分布函数，及
解：

已知离散型X：
则
①F(x)图形：一条阶梯型曲线，在x_k处间断，是一个跳跃间断点
②F(x)在X=x _k 处有跳跃值：P _k =P{X=x_k}
③F(x):分段函数；分段区间；左闭右开
例1：已知离散X的分布函数
求X的分布律。解答如下：

例2：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
(此例题对理解连续型随机变量很重要)
解：
①当x<0,{X≤x}是不可能事件,因此
②当0≤x≤2，P{0≤X≤x}=kx ² (概率与面积成正比，k是正比系数，常数)，特别：取x=2 P{0≤x≤2}=4k，同时由实际得，P{0≤x≤2}=1，因此 k=1/4；故有：


③当x≥2时，又已知{0≤x≤2}，数轴上X≥2已经超过了范围，因此是必然事件。故 因此：

2、设随机变量X的概率密度为
求随机变量 的概率密度
解：由分布函数定义可知

①当 时：
②当 时:

③当 时：


因此：
从而随机变量Y=eX的概率密度 为：
【总结】首先根据分布函数定义 写出关于Y的分布函数 ,然后根据分布函数的导数是概率密度，可求出Y的概率密度．