Question

已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2,是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2，是对应齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解：
k1α1＋k2（α1—α2）＋（β1＋β2）/2

看了别人的提问回答 我一点儿都不明白，，α1—α2怎么得的？（β1＋β2）/2 又是怎么回事？？

Answer 1

因为非齐次线性方程组通解的表示式不是唯一的
你这个结论应该是选择题中的一个选项

因为a1,a2 是Ax=0 的基础解系
所以 a1,a1-a2 也是 Ax=0 的基础解系
又 A((b1+b2)/2)) = (Ab1+Ab2)/2 = (b+b)/2 = b
所以 (b1+b2)/2 是Ax=b的解
所以通解为
k1α1＋k2（α1—α2）＋（β1＋β2）/2