Question

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3

证明（1）α1，α2，α3线性无关 （2）令P=（α1，α2，α3）求P-1AP

Answer 1

证明: (1) 设 k1α1+k2α2+k3α3 = 0 (1)
则 k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3 = 0
所以 -k1α1+k2α2+k3(α2+α3) = 0
所以 -k1α1+(k2+k3)α2+k3α3 = 0 (2)
(1)-(2) 得 2k1α1-k3α2=0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1=k3=0.
代入(1)知 k2=0
所以 α1,α2,α3线性无关

A(α1,α2,α3)
= (Aα1,Aα2,Aα3)
= (-α1,α2,α2+α3)
= (α1,α2,α3)K
K =
-1 0 0
0 1 1
0 0 1
所以 P^-1AP=K