Question

高等数学(十)无穷级数

Answer 1

令 称为部分和数列

若级数，即 的部分和数列 有极限 ，即

则称级数 收敛，否则级数发散

若 ，则 ，

设

①若0<l<+∞，则 和 同敛散
②若l=0，则 ，
③若l=∞，则 ，

两个常用级数：
①
②

莱布尼茨准则：若
①
②
则级数 收敛

定义1 幂级数的定义：形如

定理1 阿贝尔定理

定理2 幂级数 的收敛性有且仅有以下三种可能

定理3 如果 ，则

定理4 如果 ，则

设 的收敛半径为R ₁ ， 的收敛半径为R ₂ ，令R=min{R ₁ ,R ₂ }，则当x∈(-R,R)时

设幂级数 的收敛半径为R，和函数为S(x)，则

定理1 如果函数f(x)在区间(x ₀ -R,x ₀ +R)上能展开为x-x ₀ 的幂级数 ，则其展开式是唯一的

称为f(x)在x=x ₀ 处的泰勒级数

定理2 设f(x)在x=x ₀ 处任意阶可导，则 在(x ₀ -R,x ₀ +R)上收敛于 ，其中

为f(x)在x=x ₀ 处泰勒公式中的余项

根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质及变量代换等方法，求得所给函数的展开式

设f(x)在 上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在 上处处收敛，且收敛于

与3类似，将Π换成l，nx换成nΠx/l即可